Summarize this content to 2000 words in 6 paragraphs in english Ya hay solución para el desafío matemáticos que EL PAÍS propuso un año más a los lectores con ocasión del Sorteo de la Lotería de Navidad del 22 de diciembre y presentado, como en ediciones anteriores, por Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. Si quieres hacer el desafío para tratar de resolver qué X esconde el décimo antes de tener pistas para resolverlo no sigas leyendo y pincha aquí.Recordemos brevemente el desafío. Compramos dos números de la Lotería de Navidad con la propiedad de que, entre los dos, aparecen todos los dígitos del 0 al 9, necesariamente una vez cada uno y, además, la suma de los dos números vuelve a ser un número de lotería, es decir, tiene 5 cifras. Observamos que en esa suma aparecen, en algún orden y alguna posición, los dígitos 1, 3, 5 y 7. Llamando X a la quinta cifra de la suma, el desafío consistía en decidir qué valores exactamente puede tomar el dígito X: ¿puede ser cualquiera entre 0 y 9?; ¿pueden aparecer como X unos dígitos sí y otros no?; ¿puede ser que no aparezca ningún X porque en realidad no existan dos números que cumplan todas las condiciones que hemos dado? Se añadía que una solución sería fetén si daba un argumento que explicase por qué aparecen precisamente esos X.Para resolver el desafío, empecemos por comprobar que existen pares de números de lotería que cumplen nuestras condiciones: 30896+21475=52371. En este caso X=2.Otro ejemplo: 29870+45361=75231. De nuevo X=2. ¿Será esto casualidad? Veamos que no: X=2 es la única posibilidad. Si damos un argumento que demuestre que es así, tendremos resuelto el desafío de modo fetén.La clave de nuestra solución es observar que 10=9×1+1, 100=9×11+1, 1000=9×111+1 y 10000=9×1111+1.Así, si nuestro primer número, llamémoslo M, es abcde, usando el significado posicional de las cifras se tiene que:M=a x 10000 + b x 1000 + c x 100 + d x 10 + e=múltiplo de 9+a+b+c+d+e.De manera análoga, si el segundo número, N, es ABCDE, se tendrá:N=múltiplo de 9+A+B+C+D+E.La suma S de los dos números cumplirá entonces que:S=M+N= múltiplo de 9+a+b+c+d+e+A+B+C+D+E.Como entre los dos números aparecen los diez dígitos del 0 al 9, reordenando tendremos (recuerda que el orden de los sumandos no altera la suma)a+b+c+d+e+A+B+C+D+E=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.Por tanto la suma, S=M+N= múltiplo de 9+45. es un múltiplo de 9.Por otra parte, la suma tiene los dígitos 1, 3, 5, 7 y X, por lo que el mismo argumento (incluyendo, si hace falta, una reordenación) nos dice que:S=múltiplo de 9+1+3+5+7+X=múltiplo de 9+16+X.Sabemos que esto tiene que ser un múltiplo de 9, lo que sólo es posible si el dígito desconocido, X, es 2, como queríamos ver.Quienes tengan formación matemática sin duda habrán observado que el argumento se puede hacer más corto usando la notación de congruencias (módulo 9 en nuestro caso), que se menciona en algunas de las soluciones recibidas.Matemagia y la prueba del nueveEstas “cuentas con restos” se emplean con frecuencia en lo que se conoce como Matemagia, y de hecho este desafío tiene su origen en un truco que me enseñó hace unos años Fernando Blasco, actual presidente de la Comisión de Divulgación de la RSME. La misma idea de sumar cifras está detrás de la prueba del nueve, que parece que ha inspirado algunas de las soluciones. Pero un buen número de quienes nos leen han dado un razonamiento que me ha gustado mucho, porque demuestra (¡como si hiciese falta!) que se puede pensar matemáticamente sin conocer la jerga y con técnicas básicas. En palabras de Mercedes A.:«Como al sumar números, cada vez que hay una “llevada” convertimos 10 unidades de un orden en 1 unidad de orden superior (por ejemplo 10 unidades en una decena), entonces cada vez que hay una “llevada”, en la suma de las cifras del resultado se pierden 9 (=10-1) unidades con respecto a la suma de los dígitos de los sumandos.»Con esto en mente, vemos en el caso del desafío que, a partir de la suma 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 de los dígitos de los números originales, la suma de los dígitos del “número suma” bajará a 36 si hay una llevada, a 27 si hay dos, a 18 si hay tres y finalmente a 9 si ha habido cuatro llevadas. Como 1+3+5+7=16, la única posibilidad es completarlo a 18, y por tanto X=2.Esto tiene una consecuencia en la que confieso que no me había fijado: cuando buscamos ejemplos que demuestren que la situación planteada puede darse (volveremos a esto), necesariamente estaremos ante tres llevadas. Una observación sencilla, pero sin duda curiosa.En el plazo establecido han contestado al desafío, desde diversos países (al menos Alemania, Eslovenia, Italia, Francia y Reino Unido, además de España), alrededor de 180 personas. No es fácil dar el número exacto porque algunas soluciones, o bien tienen varios autores, o bien venían en el mismo mensaje. Este es el caso de varias de las enviadas desde centros de enseñanza (¡las y los jóvenes a quienes animábamos a participar!), entre las que queremos destacar este año la que han mandado Clara, Erine, Jed, Nael y Valentine, estudiantes del Instituto Clemenceau de Reims (Francia), quienes han investigado el desafío ¡en su clase de español! Estoy muy agradecido a su profesora, la señora Louyer, por utilizar el desafío como herramienta docente fuera de la clase de Matemáticas.El 22% de las respuestas recibidas eran incorrectasDe entre las respuestas, hemos tenido que considerar incorrectas alrededor del 22%. Aproximadamente dos terceras partes de ellas lo son porque se han limitado a dar un ejemplo en el que, claro, X=2, pero no dicen nada sobre por qué pueden descartar otras posibilidades. En sentido contrario, un 18% de las respuestas son correctas, e incluso “parcialmente fetén”: dan un argumento claro y sólido de por qué es X=2, pero les ha faltado incluir un ejemplo, con lo que no podemos estar seguros de que X exista. Como nos dice José Lorenzo M. A., maestro jubilado, encontrar ejemplos a mano no era del todo inmediato.Más informaciónNosotros hemos dado dos, pero varias personas han tirado del ordenador para ver cuántos pares de números de lotería hay que cumplan nuestras condiciones: resultan ser 6592 (o 13184 si consideramos los dos posibles órdenes para cada par). Algunas nos ha indicado que, de las 120 formas de ordenar las cifras 12357, 102 (todas salvo las que empiezan por 12, 13 y 15) aparecen en las posibles sumas, e Ignacio L. C. ha ido más allá: ha calculado la frecuencia con la que se da cada una de estas 102 sumas en las 6592 soluciones. La más frecuente es 73521, que aparece en 160 casos, mientras que hay diez sumas que sólo aparecen en 16 ocasiones cada una.Un desafío “anti-ChatGPT”¿No ha utilizado nadie la Inteligencia Artificial para resolver el desafío? Por supuesto que sí. Chat GPT no parece entender bien la pregunta (Samuel M. dice que hemos planteado un desafío ”anti-ChatGPT”), aunque se puede usar para encontrar ejemplos, como ha hecho José D. S. A.. Pero Alberto B. de la C., que había encontrado la solución experimentalmente, ha planteado el reto teórico a Gemini 2.0 Flash y ha obtenido una solución correcta, bien explicada (aunque la nuestra es más corta) y que parece humana.Tres de los autores de soluciones correctas recibirán, por cortesía de la RSME, sendos ejemplares del libro “Gardner para principiantes: Enigmas y juegos matemáticos”, coordinado por el ya mencionado Fernando Blasco, que forma parte de la Biblioteca Estímulos Matemáticos que la sociedad ha venido publicando conjuntamente con Editorial SM. Son Fernando G. (por su originalísima solución en forma de poema), Mari Carmen G. A. Y Pedro G. F. (quien tendrá que compartir el libro con su padre, Guillermo, dado que han enviado una solución conjunta).Muchas gracias a quienes siguen fielmente los desafíos y se animan a enviar soluciones. Sus mensajes son el mejor estímulo para continuar con este entretenimiento matemático anual. En nombre de EL PAÍS, de la RSME y en el mío propio, les deseo feliz Navidad y un nuevo año en el que el que el mundo no nos sea ajeno.Más abajo puedes consultar los desafíos (y las soluciones) de años anteriores.Resuelve los desafíos matemáticos de otros añosVer el desafío de 2023: ¿Cuánto suman todos los dígitos?Ver el desafío de 2022: ¿Se queda el décimo o me lo cambia?Ver el desafío de 2021: Una suerte que se comparteVer el desafío de 2020: Un décimo rayado
